有兩個問題真的能讓人深入理解複雜的物理概念。不過，我不只是想提出這些問題，我還想用 Vernier 風扇小車來展示這些情境。

好吧，讓我從兩個問題中較簡單的那個開始。

 

同樣的力、同樣的時間

圖片：Rhett Allain。兩台質量不同但受力相同的實驗車

假設我有兩台在無摩擦軌道上的小車。小車 A 的質量是 m，小車 B 的質量是 2m（兩倍質量）。這兩台小車各有一個風扇，推動它們的力是固定的（兩台車受到相同的力），並從靜止狀態開始釋放。如果這些力作用 3 秒，請考慮以下問題：

• 小車 A 和 B 的最終速度如何比較？
• 小車 A 和 B 在 x 方向上的最終動量如何比較？
• 小車 A 和 B 的最終動能如何比較？

請解釋你的答案。

現在我要告訴你答案（然後我們可以實際操作看看）。

如果小車 B 的質量是兩倍，在相同的力下，它的加速度會是小車 A 的一半。這意味著在 3 秒結束時，小車 A 的速度會更快。這個問題應該不難。

接下來是動量。我先從動量原理（僅限 x 方向）開始講解。

 

由於兩台小車受到相同的力並作用相同的時間，它們的動量變化會是相同的。

最後是動能。這個有點 tricky，但我們可以用功-能原理來看答案。這個原理說，對系統做的功等於系統能量的變化。如果我們只選小車作為系統，那麼它的能量就只有動能（1/2 mv²）。在一維情況下，功等於力乘以位移 Δr。

 

所以，移動距離較遠的小車（小車 A）會有較大的動能變化。但我們能不能也算出這兩個動能的數值比較呢？當然可以。首先，記住兩台小車的最終動量是相同的。其次，我們用動量來表達動能。

 

 

在相同動量但不同質量的情況下，我們可以得出以下動能比：

 

所以，小車 A 和小車 B 有相同的動量，但小車 A 的動能是小車 B 的兩倍。但我們能在現實中做到嗎？是的，可以。回到 Vernier Go Direct^® 感應器小車配備的風扇，它們有相同的風扇，運轉時間為 3 秒。一台小車的質量是 500 克（加上 64 克後非常接近），包括風扇。另一台小車的質量是它的兩倍（加了額外的 500 克）。

當它們被釋放時，看起來是這樣的。

使用 Vernier 感應器小車，我還可以記錄兩台車的速度。這裡有一張圖表。

首先，我們來看看加速度（速度-時間圖的斜率）。黃色小車的加速度是 0.2145 m/s²，綠色小車（質量是兩倍）的加速度是 0.1131 m/s²。請注意，質量較小的小車應該有兩倍的加速度，但實際上並沒有完全達到。我懷疑風扇的力大小可能不太一樣——我得在未來的部落格文章中調查一下。這意味著兩台小車的最終速度分別是 0.63 m/s 和 0.328 m/s，不完全符合預期。哎呀——不過還是很接近。

我繼續努力，沒什麼能阻止我。以下是計算結果（使用上面的數據，實驗車 A 是黃色車，B 是綠色車）：

• PA = 0.107 kgm/s，PB = 0.1131 kgm/s（不太一樣，但瞇著眼睛看還算接近）。
• KA = 0.0115 J，KB = 0.0064 J（至少這部分沒問題，實驗車 A 的動能確實比較多）。

同樣的力、同樣的距離

現在來看下一個問題。假設兩台小車受到相同的力，但作用在相同的距離上呢？小車 B 的質量是小車 A 的兩倍。同樣地，它們的最終速度、最終動量和最終動能會如何比較？

 

小車 A 仍然會有較大的加速度（因為質量較小），所以很明顯它的速度會比較快。但現在它們移動相同的距離，所以對兩台車做的功是相同的。這意味著它們應該有相同的動能。

 

要思考動量，我們可以看看時間。哪台車在這段距離（我在上圖稱之為 Δr）加速的時間比較長？質量較大的小車 B 需要更長的時間才能到達終點。時間越長，它的最终動量就會越大。

 

如果想比較 A 和 B 的動量，我們可以再次用動量來表達動能（因為它們的動能K相同）。

很酷吧。但這是真的嗎？我們能重現這個實驗嗎？記住，這就是這篇沒啥重點的文章的全部意義。來試試看吧。

等等，有個問題。Vernier 風扇超讚的，但它是按一定的時間運轉，而不是按特定的距離。真掃興。看來我們得耍點小聰明。

Vernier 小車風扇有四個力設定和四個時間間隔設定。根據說明文件，這些時間分別是 1 秒、3 秒、6 秒和 60 秒。有沒有可能用 3 秒和 6 秒的時間間隔，讓質量不同的兩台車移動相同的距離？是的，這就是我們的「作弊」方法。

假設我有一台加速度為 a₁ 的小車，運轉時間間隔為 Δt₁。我可以用運動學方程式算出移動的距離：

因為 v₀ = 0（從靜止開始），這可以簡化。如果假設風扇施加的力是 F，且這是車上唯一的力，那麼加速度就是 a = F/m。如果對小車 B 重複這個過程，並設定距離相等，我們會得到：

有些東西可以消掉，我們可以設定 Δt₂ = 2Δt₁（時間間隔加倍）。

所以，如果我把時間間隔加倍，並使用四倍的質量，兩台車在相同的力下應該會移動相同的距離。我已經說過我要耍點小聰明了，所以別抱怨。來看看吧（哦，我得在小車 B 上堆一堆額外的質量，才能達到正確的質量）。這是我的兩台車：

圖片：Rhett Allain。兩台 Go Direct 感應器小車配備風扇並調整質量

 

這是兩台車的運動情況（是的，我換了方向）。

 

但這真的有用嗎？我們來看看感應器小車的數據，檢查一下。這裡有一張速度隨時間變化的圖表，從中我可以得到加速度和最終速度。

 

質量是四倍且力相同的情況下，綠色小車（B）的加速度應該是 1/4。我的意思是，實際比值是 0.217，還算接近，所以應該夠好了。質量較小的小車（A）的最終速度是 0.649 m/s，小車 B 是 0.273 m/s。用 0.5 kg 和 2 kg 的質量，我算出以下結果：

• PA = 0.3245 kgm/s，PB = 0.546 kgm/s。實驗車 B 的動量變化應該更大，因為風扇運轉時間是兩倍。實際上，動量應該是兩倍——差不多在這個範圍內。
• KA = 0.105 J，KB = 0.075 J——動能應該相同，這個結果至少算是有點接近。

就這樣——不過還得真正搞清楚這些風扇。以下是我的問題（以及 Vernier 的一些回答）：

 

• 摩擦力呢？ 因為這取決於車的質量，質量較大的車會有更大的（成比例的）淨力減少。這是個有趣的問題，值得研究！
• 力設定呢？ 風扇在「兩燈」時是「一燈」時力的兩倍嗎？不完全是。推力等級 2（「兩燈」）比推力等級 1（「一燈」）大約多 30%。每個等級的推力增加約 25-30%。
• 風扇之間的力有多少變化？ Vernier 文件說風扇的力會隨著電池壽命變化——我得查一下。推力等級在不同風扇之間應該是一致的，電池電量變化時推力幾乎不會改變。韌體中有程式碼，能在電池耗盡時維持風扇推力。

這些問題都是讓學生收集和分析數據、比較結果與預期的絕佳機會。

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這篇部落格文章的版本最初於 2024 年 7 月在 Medium 上發布。

Rhett Allain 是東南路易斯安那大學的物理學副教授。他喜歡教物理，也愛聊物理。有時候他會把東西拆開，但裝不回去。Rhett 是 WIRED 和 Medium 的部落客，曾擔任 CBS《馬蓋先》和《流言終結者》的技術顧問（科學顧問）。