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阿波羅尼斯問題 適用範圍: 高二/11年級
張貼於 2011/5/17

阿波羅尼斯問題─拋物線外一點作兩切線


© 李睿紘 (consultant@calculator.com.tw)

廣天國際有限公司 數學顧問

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本教案適用於軟體畫面講解


1. 阿波羅尼斯介紹


阿波羅尼斯 (Apollonius of Perga [約260BC~約190BC],又譯為阿波羅尼奧斯),是古希臘重要數學學家兼天文學者。其著名的貢獻是對於圓錐曲線性質的研究。所謂 阿波羅尼奧斯問題 (Problem of Apollonius ),是其著作《論相切》(  Ἐπαφαί, De Tactionibus,  "Tangencies",已佚失。) 中討論的主要問題,根據3世紀希臘數學家帕普斯 (Pappus) 的記載, 該書包含這樣的問題: 

「已給三個元素,每個元素為點、直線或圓之一種。求作一圓, 過已知點(如果元素中有點的話), 且與已知直線或圓相切。」 

阿波羅尼斯按已知條件將問題分成10種:點點點、線線線、點點線、點線線、點點圓、點圓圓、線線圓、線圓圓、點線圓、圓圓圓。 

歐幾裏得在「原本」第四卷討論了前兩種, 而阿波羅尼斯在「論相切」中討論了其餘8種。人們通常將難度最大的第十種(求作一圓, 使其與已知三圓相切)稱為「阿波羅尼斯問題」。 

節錄自 http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30204.pdf


2.阿波羅尼斯法作圖




拋物線Γ外一點P

對拋物線作兩切線:分別為L₁與L₂,

和兩切點:分別為A與B,

拉動P點或是改變拋物線Γ的方程式,

亦可以直接拖拉拋物線的圖形。


我們可以驗證:

(1)PT // 拋物線的對稱軸

(2)T為PM的中點

(3)M為AB的中點(AB為過M的弦中點方程式)

(4)過T的切線 //  AB

(5)L₁與L₂交於點P(L₁∩L₂={P})


3.更新版本

新版本之模擬器將可在下面網站中下載,可不定時來網站確認。

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4.版權宣告

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